fas:QuoteLeft The real problem is not whether machines think but whether men do. — B. F. Skinner

references:

• [[00 Maths Index]]
• [[esercizi proposti classi prime|esercizi selezionati]]

Scomporre il trinomio particolare di secondo grado

un trinomio particolare di secondo grado, detto anche trinomio notevole, oppure trinomio speciale di secondo grado è un trinomio del tipo: $$x^2+sx+p$$ dove $s$ e $p$ hanno un significato particolare e servono per ricordare uno dei metodi utilizzati per fattorizzare questo particolare tipo di polinomio; per fare un esempio di come si presenta un trinomio particolare: $$x^2+5x+6$$ Esistono diversi modi per fattorizzare un trinomio di secondo grado e qui ne esporremo solo alcuni

scomposizione del trinomio particolare di scondo grado con il metodo somma-prodotto

l’idea è quella di cercare una coppia di numeri la cui somma sia uguale a $s$ e il loro prodotto sia uguale a $p$. Se riusciamo a trovarli - chiamiamoli ad esempio $a$ e $b$, allora il nostro trinomio particolare si potrà fattorizzare nel modo seguente: $$(x+a)\cdot (x+b)$$

• consideriamo il seguente trinomio particolare: $$x^2+5x+6$$

primo procedimento

• in questo caso $s=+5$ e $t=+6$
• cerchiamo due numeri $a$ e $b$ con le seguenti caratteristiche:
  1. la loro somma è uguale a $s$, cioè $a+b=s$
  2. il loro prodotto è uguale a $p$, cioè $a \cdot b=p$
• per trovare $a$ e $b$ cerchiamo quelle coppie di numeri che moltiplicati tra loro diano come risultato $p$; esse sono: $(6,1)$ e $(3,2)$
• ora scegliamo tra le due, quella i cui numeri sommati tra loro diano come risultato $s$:
  • la coppia $(a, b)$ cercata sarà quindi la coppia $(3, 2)$
• a questo punto non resta che scrivere il trinomio iniziale nella forma fattorizzata: $$(x+a) \cdot (x+b)$$
• nel nostro caso: $$(x+2)\cdot (x+3)$$

osservazione:

• per la proprietà commutativa del prodotto, non ha alcuna importanza l’ordine con cui si scrivono i fattori ottenuti: $(x+2)\cdot (x+3) = (x+3) \cdot (x+2)$
• nel caso in cui i segni di $s$ e $p$ siano uguali - entrambi positivi o entrambi negativi - allora i segni di $a$ e di $b$ saranno uguali, altrimenti avranno segno opposto.

secondo procedimento

• una volta determinata la coppia come nel precedente esercizio, si può anche riscrivere il polinomio iniziale nel modo seguente: $$x^2+(2x+3x)+6= x^2+2x+3x+6$$
• dove $5x$ è stato riscritto come somma dei due termini della coppia trovata $(3, 2)$
• a questo punto si può applicare un raccoglimento parziale, ottenendo: $$x(x+2)+3(x+2)$$
• ed infine, con un raccoglimento a fattor comune totale del binomio $(x+2)$, ottenendo: $$(x+3) \cdot (x+2)$$

scomposizione del trinomio particolare di scondo grado quando il coefficiente del termine di secondo grado è diverso da 1

• a differenza del caso più generale
• la soluzione si potrà scrivere nel seguente modo: $$(ax+n_1) \cdot (x+ \dfrac{n_2}{a})$$
• oppure, in modo del tutto equivalente: $$(ax+n_2) \cdot (x+ \dfrac{n_1}{a})$$

Esempio:

• Il trinomio $2 x^{2}+5 x-3$ ha il coefficiente di $x^{2}$ diverso da 1.
• Per scomporlo occorre trovare due numeri che abbiano come somma il coefficiente di $x$, cioè $+5$, e come prodotto il prodotto del coefficiente di $x^{2}$ con il termine noto, cioè $2 \cdot(-3)=-6$.
  • volendo, si può anche pensare che il termine noto sia diventato $-6$
• cerchiamo $a$ e $b$ come al solito, tra le coppie di divisori di $-6$, esse sono: $(6, 1)$ e $(3, 2)$
• teniamo la coppia $(6,-1)$
  • abbiamo “aggiustato” i segni dato che i segni di $s$ e di $p$ sono opposti
• a questo punto possiamo già scrivere la soluzione: $$2 x^{2}+5 x-3 = (2x-1) \cdot \left(x+ \dfrac{\cancel{6}}{\cancel{3}}\right)= (2x+1) \cdot (x+3)$$

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