Il dilemma di Monty Hall

The function of wisdom is to discriminate between good and evil
— Cicerone

Introduzione alla probabilità

In un popolare show televisivo americano il presentatore mostra al concorrente tre porte chiuse. Dietro a una di esse si cela il premio in palio, un’automobile; le altre due nascondono una capra. Il giocatore sceglie una delle tre porte, poi il conduttore, che sa qual è quella vincente, ne apre un’altra mostrando una capra. A questo punto il concorrente deve fare la scelta definitiva:

• è più conveniente confermare oppure cambiare porta per ottenere il premio?

Il quesito è noto come dilemma o paradosso di Monty Hall, dal nome del conduttore del celebre gioco a premi televisivo americano Let’s Make a Deal.

Quando nel 1990 un lettore della rivista Parade scrisse alla rubrica Ask Marilyn chiedendo quale fosse la strategia vincente, il problema si trasformò in un’accesa controversia.

• La soluzione proposta da Marilyn Vos Savant, presente nel Guinness dei Primati per il suo altissimo quoziente d’intelligenza, scatenò una valanga di lettere di contestazione, molte delle quali provenivano da matematici e accademici che accusavano Vos Savant di ignorare la teoria della probabilità.
• Il giornale diventò l’arena di un furente botta e risposta: da una parte Vos Savant, secondo la quale al giocatore conviene sempre cambiare porta; dall’altra chi sosteneva che è indifferente scegliere l’una o l’altra delle due porte rimanenti. Il caso finì persino in prima pagina sul New York Times, acquisendo in breve tempo un’enorme popolarità.

Chi aveva ragione?

Esaminiamo il problema:

• secondo la definizione classica della probabilità di un evento, data dal rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili, quando il concorrente sceglie una delle tre porte chiuse ha una probabilità pari a $\dfrac{1}{3}$ di vincere il premio.

• Dopo che il presentatore ha aperto una porta, mostrando una capra, si potrebbe pensare che la probabilità di aver indovinato la porta esatta salga da $\dfrac{1}{3}$ a $\dfrac{1}{2}$.

  • Dopo tutto, restano due porte chiuse e una delle due nasconde l’auto. Pertanto, la probabilità che questa sia dietro l’una o dietro l’altra è identica e pari a $\dfrac{1}{2}$.
  • A questo punto il giocatore può scegliere a piacimento, perché è indifferente cambiare o non cambiare.

• Risposta sbagliata !

• Infatti, il concorrente ha ancora una probabilità su tre di aver indovinato la porta esatta.

  • La probabilità che l’automobile sia dietro una delle due porte non scelte è $\dfrac{2}{3}$ e, quando il presentatore rivela quale di queste due non nasconde il premio, la probabilità che l’automobile sia dietro l’altra porta è ancora $\dfrac{2}{3}$.
  • Di conseguenza, se il giocatore mantiene la scelta iniziale, ha una probabilità di vincere pari a $\dfrac{1}{3}$, se cambia, pari a $\dfrac{2}{3}$.

un approccio diverso

Si può arrivare alla stessa conclusione seguendo un’altra argomentazione, che convincerà i più scettici.

Partiamo dal presupposto (fondamentale!) che il conduttore conosce qual è la porta che nasconde l’automobile e apre sempre una porta con dietro una capra.

• Ora, supponiamo che la prima porta scelta dal giocatore sia sbagliata e nasconda una capra. Il conduttore non ha scelta e aprirà l’altra porta con la capra. In questo caso, se il giocatore cambia porta, vince.
• Se invece la prima porta scelta dal giocatore è esatta e il giocatore cambia, ovviamente perde.
  • Possiamo concludere che, se il giocatore cambia porta, vince se e solo se la sua prima scelta era sbagliata, evento che ha probabilità pari a $\dfrac{2}{3}$.
  • Se la strategia del giocatore è di non cambiare mai, vince se e solo se la sua prima scelta è corretta, evento con probabilità $\dfrac{1}{3}$.
• Anche se apparentemente contro-intuitiva, la risposta di Vos Savant era esatta.

Perché allora moltissime persone rimasero persuase del contrario?

• Alla base della controversia c’è probabilmente un punto chiave del problema: il conduttore sa qual è la porta vincente.
• Se il conduttore non sapesse dove si nasconde l’automobile (e quindi potesse anche aprire la porta fortunata), allora al giocatore resterebbero due porte con identica probabilità: cambiando o non cambiando, il concorrente avrebbe la stessa probabilità di vincere o perdere.

Questo paradosso è una variante del paradosso delle tre carte del matematico americano Warren Weaver (1950), il quale, a sua volta, deriva dal paradosso delle tre scatole, formulato per la prima volta nel 1889 dal matematico francese Joseph Bertrand.