Matematica per le classi Terze SE | The Math of Things

1. Numeri naturali e numeri interi relativi

Thu, 09 Sep 2021 00:00:00 +0100

Table of Contents

☆ scadenza: 30 settembre 2021

L’insieme dei numeri naturali

Numeri, continuamente numeri: il numero dei giri, il numero della macchina, il distacco, il tempo trascorso, il tempo che manca, il numero sulla maglia, il punteggio…

Servono veramente tutti questi numeri?

Sono essenziali o se ne potrebbe fare a meno?

1. numeri naturali e loro ordinamento

come si rappresentano gli insiemi numerici?

$$ \mathbb{N} = \{ 0; 1; 2; 3; \dots \} $$

osservazione: l’inserimento dello zero nell’insieme $\mathbb{N}$ è ancor oggi una questione controversa, tanto che, a volte, si rende necessario distinguere i due diversi insiemi $\mathbb{N}$ in:

$\mathbb{N}$: insieme dei numeri naturali, compreso lo zero (regalatoci dagli indiani…)
$\mathbb{N^*}$: insieme dei numeri naturali, escluso lo zero

Nascono comunque dall’attività dell’uomo del contare, per questo vengono detti naturali.

proprietà dell’insieme $N$

L’insieme dei numeri naturali è infinito.
Ogni numero naturale ha un successivo.
Ogni numero naturale, eccetto lo zero, ha un precedente.
Lo zero è l’elemento minimo dell’insieme dei numeri naturali.
L’insieme dei numeri naturali non ha un elemento massimo

Per indicare che due numeri $a$ e $b$ sono uguali, useremo il simbolo $=$ e scriveremo: $$a=b$$ leggendo «$a$ è uguale a $b$»;

la precedente relazione è bidirezionale, cioè deve intendersi nelle due direzioni, sempre.

Il termine a sinistra dell’uguale viene chiamato primo membro, mentre quello a destra si indica con secondo membro.

ad esempio: $$17=17$$

La relazione di uguaglianza tra due numeri naturali gode delle seguenti proprietà:

riflessiva: ogni numero è uguale a se stesso: $a=a$;
simmetrica: se $a=b$ allora $b=a$;
transitiva: se $a=b$ e $b=c$ allora $a=c$.
I numeri naturali hanno un ordine, cioè, dati due numeri naturali, diversi tra loro, è sempre possibile confrontarli stabilendo tra essi una relazione di disuguaglianza:
se nella successione dei numeri naturali un numero $a$ precede un numero $b$, si dice che $a$ è minore di $b$ e si scrive: $$a<b$$
se invece $a$ segue $b$, si dice che $a$ è maggiore di $b$ e si scrive: $$a>b$$
per indicare le relazioni d’ordine vengono utilizzati anche i simboli di disuguaglianza:
maggiore o uguale: si indica con il simbolo “$\geq$”: $$a \geq b$$
minire o uguale: si indica con il simbolo “$\leq$”: $$a \leq b$$

es.: proprietà transitiva della disuguaglianza:

se $a \leq b$ e $b \leq c$, allora $a \leq c$

I numeri naturali possono essere facilmente rappresentati graficamente attraverso una semiretta orientata

Le quattro operazioni aritmetiche con i numeri naturali

2. addizione e sue proprietà

definizione: la somma di due numeri naturali è quel numero naturale che si ottiene contando di seguito al primo tutte le unità del secondo.

proprietà commutativa:

cambiando l’ordine degli addendi il risultato non cambia: $$a+b=b+a$$

proprietà associativa:

la somma di tre numeri non cambia se a due addendi consecutivi si sostituisce la loro somma: $$(a+b)+c=a+(b+c)$$

Esiste l’elemento neutro dell’addizione:

è il numero zero. Ciò significa che sommando zero a qualsiasi numero si ottiene il numero dato

3. sottrazione e sue proprietà

è un’operazione che si esegue tra due numeri, considerati nell’ordine, il primo detto minuendo e il secondo sottraendo. Il risultato della sottrazione si chiama differenza.

definizione: la differenza tra due numeri naturali è quel numero naturale, se esiste, che addizionato al sottraendo dà come somma il minuendo.

esempio: $5-2=3$ perché $5=3+2$

casi particolari:
La sottrazione $4-6$ non si può eseguire in $\mathbb{N}$ perché non esiste alcun numero naturale che, sommato a $6$, dia $4$.
La sottrazione, nell’insieme dei numeri naturali, si può eseguire solo se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo: $$a-b=c \rightarrow a= b+c$$ con $$a\geq c$$
La sottrazione gode della proprietà invariantiva: se si somma o si sottrae uno stesso numero sia al minuendo sia al sottraendo, la differenza non cambia: $$(a-b)=(a+c)-(b+c)$$
Grazie alla proprietà invariantiva possiamo eseguire rapidamente alcune sottrazioni: $$(198-48)=(198+2)-(48+2)=200-50=150$$
La sottrazione non gode della proprietà commutativa: $7-5 =2$, ma $5-7$ non è calcolabile in $\mathbb{N}$ e non ammette elemento neutro: $2-0 =2$, ma $0-2$ non si può eseguire in $\mathbb{N}$.
La sottrazione non gode neppure della proprietà associativa.
Ad esempio per calcolare $15-4-2$ è necessario eseguire le sottrazioni nell’ordine indicato: $$\underbrace{(15-4)}_{11}-2=9$$

4. moltiplicazione e sue proprietà

definizione: prodotto di due numeri naturali

è la somma di tanti addendi uguali al primo fattore quante sono le unità indicate dal secondo: $$a \cdot b= \underbrace{a+a+a+ \ldots + a}_{b \; \text{addendi}}$$

proprietà commutativa: il prodotto tra due o più fattori non cambia se cambia il loro ordine: $$a \cdot b = b \cdot a$$
proprietà associativa: il prodotto di tre numeri non cambia se a due fattori consecutivi si sostituisce il loro prodotto: $$(a \cdot b)\cdot c= a \cdot (b \cdot c)$$
proprietà distributiva:

della moltiplicazione rispetto alla addizione: $$a \cdot (b+c)= a \cdot b + a \cdot c$$
della moltiplicazione rispetto alla sottrazione: $$a \cdot (b-c)= a \cdot b - a \cdot c$$

raccoglimento a fattor comune: si ottiene leggendo nell’altro verso la proprietà distributiva: se in una somma tutti gli addendi hanno un fattore in comune, esso può essere raccolto e moltiplicato per la somma degli altri termini; allo stesso modo per la differenza: $$\underbrace{3 \cdot 7 + 3 \cdot 5}_{21+15=36} = \underbrace{3 \cdot (7+5)}_{3 \cdot 12 = 36} \qquad \underbrace{8 \cdot 12-8 \cdot 9}_{96-72=24}=\underbrace{8 \cdot(12-9)}_{8 \cdot 3=24}$$
esistenza dell’elemento neutro: moltiplicando qualsiasi numero per uno si ottiene il numero dato
esistenza dell’elemento annullatore: moltiplicando qualsiasi numero per zero si ottiene zero
Legge di annullamento del prodotto: se il prodotto tra due o più fattori è zero allora almeno uno dei fattori è zero

5. divisione e sue proprietà

Il quoziente tra due numeri naturali, dei quali il secondo diverso da zero, è quel numero naturale, se esiste, che moltiplicato per il divisore dà il dividendo:

$a : b=c$, con $b \neq 0$, $\underbrace{\Longrightarrow}_{\text{implica}} a=b \cdot c$

se la divisione si può eseguire in $\mathbb{N}$, allora si dice che $a$ è divisibile per $b$ o anche che $b$ è multiplo di $a$.

Ad esempio $24$ è divisibile per $6$ e $24$ è multiplo di $6$

La divisione $19:5$ non può essere eseguita in $\mathbb{N}$, poiché non esiste alcun numero naturale che, moltiplicato per $5$, dia $19$.

ATTENZIONE:

Non è invece possibile eseguire la divisione di un numero naturale e lo zero, poiché il risultato dovrebbe essere un numero che, moltiplicato per zero dia il numero iniziale, ma qualsiasi numero moltiplicato per zero restituisce zero, che rappresenta infatti l’elemento annullatore della moltiplicazione.

La divisione $0:0$ invece ha infiniti risultati, poiché esistono infiniti numeri che moltiplicati perzero danno come risultato zero.

La divisione per zero quindi non è mai definita

casi particolari:

in generale	esempio	osservazioni
$a:1=a$	$6:1=6$	$1$ può essere considerato l’elemento neutro della divisione
$a:a=1$, con $a \neq 0$	$6:6=1$	se dividendo e divisore, entrambi $\in \mathbb{N}$ sono uguali, il risultato della divisione è l’unità
$0:a=0$, se $a \neq 0$	$0:6=0$	lo $0$ al dividendo può essere considerato l’elemento annullatore della divisione

Q: Qual è la differenza tra divisione e quoziente?

proprietà invariantiva della divisione

se si moltiplicano o si dividono sia il dividendo sia il divisore per uno stesso numero - diverso da zero -, il quoziente non cambia:
$a:b=(a \cdot c):(b \cdot c)$ - esempio: $$65:5=(65 \cdot 2):(5 \cdot 2)=130:10=13$$
```
 - $a:b=(a : c):(b : c)$
- **esempio**:
$$72:12=(72 : 2):(12 : 2)=36:6=6$$
---
```

proprietà distributiva della divisione

 - rispetto alla **addizione**:
- per dividere una `somma` per un `numero` si può dividere ciascun addendo per quel numero e quindi sommare i quozienti:
- $$(a+b):c=a:b+a:c$$
- $$\underbrace{(32+24)}_{56}:8=32:8+24:8=4+3=7$$
- rispetto alla **sottrazione**:
- per `dividere` una `differenza` per un `numero` si possono dividere sia il `minuendo` sia il `sottraendo` per quel numero e quindi eseguire la `sottrazione` tra i `quozienti`:
- $$(a-b):c=a:b-a:c$$
- $$\underbrace{(32-24)}_{8}:8=32:8-24:8=4-3=1$$
>La proprietà distributiva della divisione può essere applicata per eseguire più rapidamente alcune divisioni:
>$$612:6=(600+12):6=600:6+12:6=100+2=102$$
- **Non** esistono proprietà distributive per dividere un numero per una somma o per una differenza.
$$a:(b+c) \neq a:b+a:c$$
---

divisione approssimata - con resto

 - Se il dividendo **non** è multiplo del divisore, la divisione esatta non si può eseguire. Si può ricorrere allora alla divisione approssimata che associa al dividendo e al divisore due numeri naturali, detti rispettivamente `quoziente` e `resto`.
- Il **quoziente** della divisione approssimata è il più grande numero naturale che, moltiplicato per il divisore, dà un prodotto minore o uguale al dividendo.
- Il **resto** è la **differenza** tra il dividendo e tale prodotto.
- Il resto risulta **sempre minore** del divisore
> se $r=0$, allora l'uguaglianza $a=b \cdot q +r$ diviene:
> $$a=b \cdot q$$
> che è la definizione di divisione che risulterà pertanto `esatta`
$$a:b=q \\; \text{con resto }r \\; \longleftrightarrow \quad a=b \cdot q +r \quad(r <b)$$

Proprietà invariantiva della divisione approssimata

 >se si moltiplicano o si dividono **sia** il **dividendo** **che** il **divisore** per uno stesso numero diverso da zero il quoziente non cambia, mentre il resto risulta moltiplicato o diviso per il numero dato:
$$a:b=q \\; \text{con resto }r \\; \longrightarrow \\; (a \cdot c) : (b \cdot c)= q \\; \text{con resto }(r \cdot c)$$
$$a:b=q \\; \text{con resto }r \\; \longrightarrow \\; (a : c) : (b : c)= q \\; \text{con resto }(r : c)$$
---

POTENZE in $\mathbb{N}$ e PROPRIETÀ delle POTENZE

6. definizione di potenza

 > **DEFINIZIONE**:
> La potenza di `base` $a$ ed `esponente` $n$ si indica con $a^n$ ed è uguale al prodotto di $n$ `fattori` uguali ad $a$:
>
> $$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \\; \text{volte}}$$
Come accade spesso in matematica per le potenze si adottano delle convenzioni:
- $a^1=a$
- $a^0=1$, per $a \neq 0$
- $0^0$ **non ha significato**
**casi particolari**:

$1^n=1$, per ogni $n$ ($\forall n$)
- $0^n=0 \quad \forall n \neq 0$

7. proprietà delle potenze

approfondimento: La memoria umana in gigabytes

Il prodotto di potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti:
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
Il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti:
$a^m : a^n = a^{m-n}$, con $(a \neq 0, \; m \geq n)$
La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti:
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

ATTENZIONE:

$(a+b)^n \neq a^n + b^n$

$(3+4)^2=49$, mentre $3^2 + 4^2 = 25$

Rif.: MULTIMATH VERDE Vol.1 pag. 43

ESPRESSIONI CON I NUMERI NATURALI

Le espressioni numeriche sono una sequenza di operazioni, da eseguirsi rispettando il loro grado di priorità.

elevamenti a potenza

moltiplicazioni e divisioni

addizioni e sottrazioni

8. Priorità delle operazioni

ESEMPIO:

$$ 12 - 4 \cdot 2 + 9 : 3 = 12 - 8 + 3 = 4 + 3 = 7 $$

9. Le parentesi

Per indicare che le operazioni si devono eseguire in un ordine diverso da quello dato dal loro grado di priorità, si utilizzano le parentesi.

Le parentesi, in un’espressione, devono sempre comparire in coppie: a ogni parentesi aperta deve corrispondere una parentesi chiusa.
Si devono eseguire per prime le operazioni indicate nelle coppie di parentesi più interne, ossia in quelle coppie, formate da una parentesi aperta e una chiusa, all’interno delle quali non vi siano altre parentesi.
Tali coppiedi parentesi devono quindi essere sostituite con i risultati rispettivamente ottenuti.
Si prosegue in questo modo fino a quando non vi sono più parentesi.
Nel caso siano indicate di seguito diverse operazioni con lo stesso grado di priorità, esse vanno eseguite nell’ordine dato.

$$168 : 12 \cdot 3 : 2$$

consideriamo la stessa espressione numerica dell’esempio precedente e riscriviamola utilizzando le parentesi
osservazione: in questo caso risulta evidente che le parentesi sono ridondanti, ossia “di troppo”.

$$ \left[12 - (4 \cdot 2) + (9 : 3) \right] = 12 - 8 + 3 = 4 + 3 = 7 $$

10. altre proprietà delle operazioni

Per dividere un prodotto per un numero, si può dividere uno solo dei fattori per quel numero:

$$(a \cdot b \cdot c): d = a \cdot (b:d) \cdot c$$ - $$(7 \cdot 15 \cdot 6):5 = 7 \cdot (15:5) \cdot 6 = 7 \cdot 3 \cdot 6 = 126$$ - In particolare, per dividere un prodotto per uno dei suoi fattori, è sufficiente sopprimere quel fattore: - $$(a \cdot b \cdot c): b = a \cdot c$$ - $$ (7 \cdot 15 \cdot 6): 15 = 7 \cdot 6 = 42$$

 - Per dividere un **numero** per un **prodotto**, si può dividere successivamente quel numero per ciascun fattore:
- $$a:(b \cdot c) = (a : b):c$$
- $$48 : (2 \cdot 3) = (48 : 2) : 3 = 24 : 3 = 8$$
- Per moltiplicare un **numero** per un **quoziente**, si può moltiplicare il numero per il dividendo e poi dividere il prodotto ottenuto per il divisore, oppure dividere il numero per il divisore e successivamente moltiplicare il risultato per il dividendo:
$$
a \cdot (b:c)=
\begin{cases}
(a \cdot b):c \\\\
(a : c) \cdot b
\end{cases}
$$
$$
6 \cdot (12:3)=
\begin{cases}
(6 \cdot 12):3 \\\\
(6 : 3) \cdot 12
\end{cases}
$$
---
> **ESERCIZI**: *Rif.: MULTIMATH VERDE Vol.1 pag. 43, n. 67*
---

Divisibilità e “numeri primi”

11. multipli e divisori

12. criteri di divisibilità

 - **Divisibilità per 2**. Un numero è divisibile per 2 se la sua ultima cifra è **pari**.
- **Divisibilità per 3**. Un numero è divisibile per 3 se la **somma delle sue cifre è divisibile per 3**
- **Divisibilità per 4**. Un numero è divisibile per 4 se il numero formato dalle sue ultime due cifre è divisibile per 4 oppure se le sue ultime due cifre sono due zeri.
- **Divisibilità per 5**. Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5.
- **Divisibilità per 9**. Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per 9.
- **Divisibilità per 10**. Un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0.
- **Divisibilità per 11**. Un numero è divisibile per 11 se lo è la differenza tra la somma delle sue cifre di posto dispari (contandole per esempio da destra asinistra), eventualmente aumentata di un multiplo di 11, e la somma delle cifre di posto pari.
- **Divisibilità per 25**. Un numero è divisibile per 25 se le sue ultime due cifre sono 00 o 25 o 50 o 75.

13. scomposizione in fattori primi

 > **definizione**: un numero naturale si dice primo se è **divisibile** solo per se stesso e per $1$
>
> - Il numero $1$, per convenzione, *non* si considera un numero primo.
>
> Ogni numero naturale, diverso da 0, che non sia primo si può esprimere, in un solo modo, come prodotto di fattori primi.
>
> - Scomporre in fattori primi un numero naturale significa determinare tali fattori.
> - Per scomporre un numero in fattori primi si cercano i suoi divisori utilizzando i criteri di divisibilità, partendo dal primo numero della successione dei numeri primi, cioè 2, e procedendo in ordine crescente.
> - Si esegue la divisione del numero dato per il più piccolo numero primo che risulta suo divisore.
> - Si divide il quoziente ottenuto per il suo divisore primo più piccolo e si continua, ripetendo il procedimento, finché il quoziente risulta uguale a 1.
---

Massimo comune divisore e minimo comune multiplo

14. massimo comun divisore MCD

 > DEFINIZIONE: **MASSIMO COMUNE DIVISORE**
>
> - Il massimo comune divisore (**MCD**) di due o più numeri naturali, diversi da zero, è il più grande dei loro divisori comuni.
Per determinare il MCD di due o più numeri naturali
1. si scompongono in fattori primi i numeri dati;
2. si moltiplicano fra loro tutti i fattori primi comuni ai numeri dati, presi una sola volta, ciascuno con l’esponente minore con cui figura.
> **NUMERI PRIMI TRA LORO**
>
>- Due o più numeri naturali sono primi tra loro (o coprimi) se il loro massimo comune divisore è 1

15. minimo comune multiplo mcm

 > DEFINIZIONE: **MINIMO COMUNE MULTIPLO**
>
> Il minimo comune multiplo (mcm) di due o più numeri naturali, diversi dazero, è il più piccolo dei loro multipli comuni diversi da zero
Per determinare il mcm di due o più numeri naturali
1. si scompongono in fattori primi i numeri dati;
2. si moltiplicano fra loro tutti i fattori primi, **comuni e non comuni**, dei numeri dati, presi una sola volta, ciascuno con l’esponente maggiore con cui figura.
---

Sistemi di numerazione

16. il sistema decimale

17. cambiamenti di base

dalla base $b$ alla base $10$

dalla base $10$ alla base $b$

 >Il termine `algoritmo` deriva dal nome del matematico di cultura araba Mohammed ibn-Musa al-Khuwarizmi, che visse a Baghdad nel IX secolod.C.; egli ci tramandò non solo un importante libro di calcolo numerico, ma anche un libro di algebra sulle equazioni di primo e secondo grado che fu basilare per lo sviluppo dell’algebra stessa. La parola algoritmo indica un procedimento di calcolo. Esso consiste in una successione finita di operazioni elementari da eseguire una dopo l’altra in un ordine ben preciso e deve avere le seguenti caratteristiche:
>
>- deve essere `finito` (cioè terminare dopo un numero finito di operazioni),
>- `definito` (ossia essere conciso e non ambiguo),
>- `completo` e deve raggiungere il risultato per il quale è stato progettato.
---

L’insieme dei numeri interi relativi $\mathbb{Z}$

18. I numeri interi relativi

valore assoluto e numeri opposti

DEFINIZIONI

 - **VALORE ASSOLUTO DI UN NUMERO INTERO RELATIVO**: Il valore assoluto o modulo di un numero intero relativo, positivo o negativo, è il numero stesso privato del suo segno
- **NUMERI OPPOSTI**: Due numeri interi relativi con lo stesso valore assoluto e con segni diversi sono opposti
---

19. Rappresentazione dei numeri interi relativi su una retta orientata

Le quattro operazioni aritmetiche con i numeri interi relativi

 - ### 23. addizione
- ### 24. sottrazione
- ### 25. moltiplicazione
- ### 26. divisione

Potenza di un numero intero relativo

Le Potenze nell’insieme dei numeri interi relativi

2. Numeri razionali e numeri reali

Sun, 05 May 2019 00:00:00 +0100

Table of Contents

☆ scadenza: 30 novembre 2021

Capitolo 2 - Numeri razionali e numeri reali

“If I were not a physicist, I would probably be a musician. I often think in music. I live my daydreams in music. I see my life in terms of music.” ― Albert Einstein*

― Albert Einstein

Frazioni

Una frazione rappresenta il risultato di una divisione tra numeri interi.

esempio:

Supponiamo di dover dividere $2$ torte tra $6$ bambini.

Sappiamo che negli insiemi $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$ la divisione $2:6$ non si può eseguire, però possiamo tagliare ciascuna delle $2$ torte in $6$ fette uguali.

Risulteranno $12$ fette che si potranno dividere tra i $6$ bambini, ciascuno dei quali avrà $2$ fette.

I numeri naturali e gli interi relativi non permettono di esprimere questa semplice soluzione del nostro problema.

In situazioni come questa si deve ricorrere alle frazioni o, per essere più precisi, ai numeri razionali.

In questo modo potremodire che a ogni bambino spetteranno $\dfrac{2}{6}$ di torta, cioè $\dfrac{1}{3}$ di torta.

1. Il concetto di frazione

definizione: una frazione è un’espressione del tipo $\dfrac{a}{b}$

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{\textit{numeratore}}{\textit{denominatore}}$$

$a, b$ sono i termini della frazione $\dfrac{a}{b}$
con $a \in \mathbb{Z}, \; b \in \mathbb{Z}, \; b \neq 0$

se $b=0 \Rightarrow$ il numero razionale $\dfrac{a}{b}$ non esiste in $\mathbb{Q}$

I numeri $a$ e $b$ si chiamano termini della frazione; precisamente:

il numero $a$, che si trova al di sopra della linea di frazione, si chiama numeratore;
il numero $b$, al di sotto della linea di frazione, si chiama denominatore

frazioni proprie e improprie

Se il numeratore di una frazione è minore del denominatore si dice che la frazione è propria;
se invece il numeratore è maggiore o uguale al denominatore si parla di frazione impropria.

frazioni apparenti

Se il numeratore è multiplo del denominatore, la frazione rappresenta il risultato di una divisione che si può eseguire nell’insieme dei numeri interi, $\mathbb{Z}$
Tali frazioni si dicono perciò apparenti. particolare, se il denominatore è uguale a $1$, si usa scrivere il solo numeratore.

$\star$ Le frazioni apparenti sono casi particolari di frazioni improprie.

2. Frazioni equivalenti

definizione: due frazioni $\dfrac{a}{b}$ e $\dfrac{c}{d}$ si dicono equivalenti se:

$$a \cdot d = b \cdot c$$

cioè se il prodotto tra il numeratore della prima frazione e il denominatore della seconda è uguale al prodotto tra il denominatore della prima e il numeratore della seconda

I due prodotti che si devono confrontare per stabilire se due frazioni sono equivalenti sono detti anche prodotti in croce
ad esempio: le frazioni $\dfrac{4}{5}$ e $\dfrac{24}{30}$ sono equivalenti, infatti:

$$a \cdot d = b \cdot c \Rightarrow 4 \cdot 30 = 24 \cdot 5 = 120$$

SEGNO DI UNA FRAZIONE

3. Proprietà invariantiva

proprietà invariantiva delle frazioni

Moltiplicando o dividendo entrambi i termini di una frazione per uno stesso numero diverso da zero, si ottiene una frazione equivalente alla frazione data:

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot c} = \dfrac{a : c}{b : c}$$

con $a, b, c \in \mathbb{Z}, \qquad$ e con $b, c \neq 0$

4. Riduzione ai minimi termini e semplificazione

definizione: frazione ridotta ai minimi termini

Una frazione si dice ridotta ai minimi termini o irriducibile se il MCD dei valori assoluti dei suoi termini è $1$

In generale, per ridurre una frazione ai minimi termini si dividono sia il numeratore sia il denominatore per il MCD dei loro valori assoluti.

Di solito quando si semplifica una frazione si conviene di dividere i suoi termini per il loro MCD, in modo che la frazione equivalente che si ottiene sia ridotta ai minimi termini:

$$\dfrac{12}{30} = \dfrac{12 : 6}{30 : 6} = \dfrac{2}{5}$$

5. Riduzione al minimo comune denominatore

Per ridurre due o più frazioni al minimo comune denominatore, si procede così:

si riducono le frazioni ai minimi termini, se possibile;
si calcola il mcm dei denominatori delle frazioni ridotte: esso è il minimo comune denominatore;
si moltiplica il numeratore di ciascuna frazione ridotta per il quoziente tra il minimo comune denominatore e il corrispondente denominatore; si ottiene così il numeratore di ciascuna nuova frazione.

Il denominatore sarà il minimo comune denominatore prima trovato.

esempio:

Ridurre al minimo comune denominatore le seguenti frazioni:

$$\dfrac{7}{15}, \dfrac{6}{20}, \dfrac{12}{18}$$

L’insieme dei numeri razionali

6. L’insieme dei numeri razionali

Si definisce numero razionale l’insieme di tutte le frazioni equivalenti a una data frazione.

Data una frazione, esistono infinite altre frazioni equivalenti

Ad esempio: $$\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{10}{15} = \dots$$

Segno di un numero razionale

Due frazioni equivalenti hanno lo stesso segno.

Quindi le frazioni, tutte equivalenti tra loro, il cui insieme costituisce un numero razionale, sono o tutte positive o tutte negative o tutte nulle.

Nel primo caso diremo che il numero razionale è positivo,

nel secondo caso diremo che è negativo;

nel terzo caso diremo che l’insieme delle frazioni nulle è il numero razionale $0$.

Si possono estendere ai numeri razionali alcune definizioni già introdotte sui numeri interi.

Ad esempio, due numeri razionali si dicono concordi se hanno lo stesso segno, discordi se hanno segni diversi.

Opposto e valore assoluto di un numero razionale

DEFINIZIONE: OPPOSTO DI UN NUMERO RAZIONALE

Si dice opposto di un numero razionale $a$, e si indica con $-a$, il numero razionale che si ottiene cambiando il segno di $a$

DEFINIZIONE: VALORE ASSOLUTO DI UN NUMERO RAZIONALE

Si dice valore assoluto o modulo di un numero razionale $a$, e si indica con $|a|$, il numero $a$ stesso se $a$ è positivo o nullo, il suo opposto $-a$ se $a$ è negativo.
In simboli:

$$ |a| = \begin{cases} a \qquad \quad \text{se} \; a \ge 0\\ -a \qquad \, \text{se} \, a < 0 \end{cases} $$

con $a \in \mathbb{Q}$

7. Rappresentazione dei numeri razionali su una retta orientata

8. Confronto tra numeri razionali

Per confrontare due numeri razionali, occorre innanzitutto esprimerli come frazioni con lo stesso denominatore positivo;
si confrontano quindi i loro numeratori, considerando negativi i numeratori delle frazioni negative

esempio: confrontiamo i seguenti numeri razionali: $$\dfrac{25}{12}, \; \dfrac{20}{9}$$

calcoliamo il minimo comune denominatore:

$m.c.m.(12; 9) = 36$

esprimiamo quindi i due numeri razionali come frazioni con lo stesso denominatore $36$ $$\dfrac{25}{12} = \dfrac{25 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \dfrac{75}{36}$$ $$\dfrac{20}{9} = \dfrac{20 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \dfrac{80}{36}$$

Confrontiamo ora i rispettivi numeratori: $$75 < 80 \; \Rightarrow \dfrac{25}{12} < \dfrac{20}{9}$$

esempio: confrontiamo i seguenti numeri razionali:

$$-\dfrac{9}{20}, \; -\dfrac{7}{15}; \qquad \qquad \dfrac{14}{9}, \; -\dfrac{9}{14}$$

9. Proprietà dell’insieme dei numeri razionali

L’insieme dei numeri razionali gode delle seguenti proprietà:
- L’insieme dei numeri razionali è infinito.
- L’insieme dei numeri razionali non ha un elemento minimo.
- L’insieme dei numeri razionali non ha un elemento massimo.
- L’insieme $\mathbb{Q}$ è denso: tra due numeri razionali sono compresi infiniti numeri razionali.

Osserviamo che, rispetto alle proprietà degli insiemi dei numeri naturali e dei numeri interi, c’è un’importante differenza: i concetti di «precedente» e di «successivo», introdotti per gli insiemi discreti $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$, non hanno senso nell’insieme denso $\mathbb{Q}$.

$\star$ analogico Vs digitale

flowchart TD id1(denso) id2([analogico]) id3(discreto) id4([digitale]) id1 --> id2 id3 --> id4

operazioni con i numeri razionali

Le operazioni, nell’insieme $\mathbb{Q}$, godono delle stesse proprietà valide in $\mathbb{N}$ e in $\mathbb{Z}$:

ad esempio, la proprietà commutativa dell’addizione e della moltiplicazione, la proprietà invariantiva della sottrazione e della divisione, e così via

10. addizione

DEFINIZIONE: SOMMA DI FRAZIONI

La somma di due frazioni con lo stesso denominatore positivo è la frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore delle frazioni date e per numeratore la somma algebrica dei numeratori: $$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a+c}{b} \qquad b\neq 0$$

Quando le frazioni addende non hanno lo stesso denominatore, si sceglie come denominatore comune il minimo comune multiplo dei denominatori, dopo averle eventualmente ridotte ai minimi termini.

11. sottrazione

DEFINIZIONE: SOTTRAZIONE TRA FRAZIONI

La differenza di due frazioni è la somma della prima con l’opposta della seconda: $$\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} + \left( - \dfrac{c}{d} \right) \qquad b,d \neq 0$$

Quando le frazioni addende non hanno lo stesso denominatore, si sceglie come denominatore comune il minimo comune multiplo dei denominatori, dopo averle eventualmente ridotte ai minimi termini.

12. addizione algebrica

Come abbiamo visto, una sottrazione tra numeri razionali si può ricondurre a un’addizione.
Possiamo perciò estendere ai numeri razionali il concetto di addizione algebrica, introdotto per i numeri interi relativi

13. moltiplicazione

DEFINIZIONE: PRODOTTO DI FRAZIONI

Il prodotto di due frazioni è la frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori:

$$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d} \qquad b,d \neq 0$$

con $b, d \neq 0$, e $a, b, c, d \in \mathbb{Z}$

Il segno del prodotto è determinato dalla consueta regola dei segni, che si può estendere al caso di tre o più fattori

REGOLA

Per calcolare il prodotto di due o più frazioni, si può procedere così:

si riducono ai minimi termini quelle frazioni che eventualmente non lo siano;
si determina il segno del prodotto con la regola dei segni: se il numero delle frazioni negative è pari il prodotto è positivo, se è dispari il prodotto è negativo;
- la frazione prodotto ha per segno il segno così determinato, per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori;
se possibile, si semplifica il risultato riducendolo ai minimi termini.

Nella pratica è possibile, in molti casi, eseguire le semplificazioni in croce prima di calcolare il prodotto dei numeratori e quello dei denominatori.
In tal modo è possibile ottenere il risultato già ridotto ai minimi termini
Per moltiplicare un numero intero per una frazione si moltiplica il solo numeratore per quel numero intero:

$$n \cdot \dfrac{p}{q} = \dfrac{n \cdot p}{q}$$

DEFINIZIONE: numeri razionali reciproci

Il prodotto di due frazioni è la frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori:

$$ a \cdot b =1$$

14. divisione

DEFINIZIONE: DIVISIONE DI FRAZIONI

Il quoziente di due numeri razionali, il secondo dei quali diverso da zero, è il prodotto del primo per il reciproco del secondo: $$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} \qquad b,d \neq 0$$

con $b \neq 0, \; c \neq 0, \; d \neq 0, \qquad$ e con $a, b, c, d \in \mathbb{Z}$

Il segno del risultato di una divisione si determina, come al solito, con la regola dei segni

Anche in $\mathbb{Q}$ non è possibile dividere per $0$;
nell’insieme $\mathbb{Q}$ dei numeri razionali sono possibili tutte le divisioni con divisore diverso da $0$:
- la divisione è un’operazione interna all’insieme $\mathbb{Q}$ dei numeri razionali diversi da zero.
Il quoziente di una divisione tra numeri interi può essere rappresentato da un numero razionale

potenze in $\mathbb{Q}$

REGOLA

La potenza di una frazione è la frazione i cui termini sono le potenze dei termini della base.
- Se la base ha segno $+$, anche la potenza ha segno $+$.
- Se la base ha segno $+$ e l’esponente è pari, la potenza ha segno $+$.
- Se la base ha segno $-$ e l’esponente è dispari, la potenza ha segno $-$.

15. Potenza con esponente naturale

definizione: POTENZA DI UN NUMERO RAZIONALE CON ESPONENTE NATURALE

La potenza che ha per base il numero razionale $a$ e per esponente il numero naturale $n$ si indica con $a^n$ ed è uguale al prodotto di $n$ fattori uguali ad $a$ $$a^{n} = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \; fattori}$$

16. Potenza con esponente intero negativo

definizione: POTENZA CON ESPONENTE INTERO NEGATIVO

La potenza che ha per base il numero razionale $a \neq 0$ e per esponente il numero intero negativo $-n$ è uguale al reciproco della potenza che ha per base $a$ e per esponente il numero naturale $n$:

$$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \qquad a \neq 0$$

Frazioni e numeri decimali

17. Numeri decimali e frazioni decimali

A tutti sono noti i numeri decimali, ossia quei numeri rappresentati mediante due successioni di cifre, separate da una virgola.

La successione di cifre a sinistra della virgola si chiama parte intera del numero, quella a destra della virgola si chiama parte frazionaria.

$$\underbrace{123,}_{parte \, intera} \overbrace{4567}^{parte \, frazionaria}$$

Per comprendere pienamente tale tipo di rappresentazione, detta rappresentazione decimale, è necessario introdurre il concetto di frazione decimale.

definizione: FRAZIONE DECIMALE

Si dice frazione decimale ogni frazione che ha per denominatore una potenza di $10$ con esponente positivo.

18. Dalla frazione al numero decimale

DEFINIZIONE: NUMERO DECIMALE PERIODICO

Si dice che un numero decimale è periodico se le sue cifre decimali dopo la virgola si ripetono a gruppi a partire da una certa posizione.

Il gruppo di cifre che si ripetono si chiama periodo.
Se il periodo inizia subito dopo la virgola, la rappresentazione si dice periodica semplice;
se invece inizia in una posizione successiva, la rappresentazione si dice periodica mista e il gruppo di cifre che seguono la virgola e precedono il periodo si chiama antiperiodo.

19. Dal numero decimale finito alla frazione

REGOLA

Per determinare la frazione generatrice di un numero decimale finito, al numeratore si scrivono le cifre del numero, senza la virgola, e al denominatore si scrive $1$ seguito da tanti zeri quante sono le cifre che seguono la virgola.

Si può anche ricordare in un altro modo:

al numeratore si scrivono le cifre del numero, senza la virgola, e al denominatore si scrive la potenza di $10$ con esponente uguale al numero di cifre che compongono la parte frazionaria

20. Dal numero decimale periodico alla frazione

REGOLA: La frazione generatrice di un numero decimale periodico è la frazione che ha:

al numeratore la differenza tra il numero dato, scritto senza virgola, e il numero formato dalle cifre che precedono il periodo, anch’esso scritto senzavirgola;
al denominatore tanti $9$ quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti zeri quante sono le eventuali cifre dell’antiperiodo.

Il periodo 9

$$0, \overline{9}=\frac{9-0}{9}=1 \quad \longrightarrow \quad 1=0,9999 \ldots$$

Giungiamo così a un apparente paradosso: il numero intero $1$ è uguale a un numero decimale periodico, cioè a un numero decimale con infinite cifre dopo la virgola!

REGOLA

Un numero periodico con periodo $9$ è uguale al numero decimale finito che si ottiene da quello dato eliminando il periodo $9$ e aumentando di una unità l’ultima cifra che precede il periodo.

qualche esercizio

risolvere la seguente espressione con i numeri razionali: $$\left\{\dfrac{\left[-\dfrac{5}{8} \cdot\left(-4+\dfrac{1}{2}\right) \cdot(-7)^{-2}+(-2)^{-4}+\dfrac{3}{4} \cdot 7^{-1}\right] \cdot\left(-6-\dfrac{2}{3}\right)}{4^{-1} \cdot\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right):(-5)^{-1}:\left[\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+(-2)^{-3}\right]}-\dfrac{109}{7}\right\}^{19}$$

trasformare le seguenti frazioni in numeri decimali finiti, periodici semplici o misti: $$\dfrac{11}{4}= \dots; \quad \dfrac{19}{11}= \dots; \quad \dfrac{37}{6}= \dots;$$

determinare la frazione generatrice dei seguenti numeri decimali:

$$2,008= \dots; \quad 0,0004= \dots; \quad 2,\overline{3}= \dots; \quad 2,3\overline{3}= \dots; \quad 5,\overline{367}= \dots $$

21. Notazione esponenziale e notazione scientifica

Notazione esponenziale

Notazione scientifica

22. Proporzioni

definizione: proporzione

Si definisce proporzione l’uguaglianza tra due rapporti:

$$a:b = c: d \quad \text{con} \; b \neq 0, \; d \neq 0$$

proprietà delle proporzioni:

I quattro numeri che formano una proporzione si dicono termini della proporzione.

Il primo e il quarto termine si dicono estremi, il secondo e il terzo si dicono medi;

il primo e il terzo si dicono antecedenti, il secondo e il quarto si dicono conseguenti.

23. Percentuali

L’insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$

Calcolo approssimato

3. Insiemi e Logica

Sun, 05 Sep 2021 00:00:00 +0100

☆ scadenza: 30 ottobre 2021

Capitolo 3: Insiemi e Logica

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Frazioni

L’insieme dei numeri razionali

operazioni con i numeri razionali

potenze in $\mathbb{Q}$

Frazioni e numeri decimali

Proporzioni

percentuali

L’insieme dei numeri reali

Calcolo approssimato

4. Relazioni e Funzioni

Sun, 05 May 2019 00:00:00 +0100

PDF

☆ scadenza: 20 febbraio 2022 $\longrightarrow$ verifica

Figura 1. ECG - elettrocardiogramma

Relazioni tra due insiemi

Quando si parla di relazioni in matematica si intende

1. Definizioni

definizione: Relazione $\mathcal{E}$

Si dice frazione decimale ogni frazione che ha per denominatore una potenza di $10$ con esponente positivo.

definizione: Dominio $\mathcal{R}$

Si dice Dominio ogni frazione che ha per denominatore una potenza di $10$ con esponente positivo.

definizione: Codominio $\mathcal{R}$

Si dice Codominio ogni frazione che ha per denominatore una potenza di $10$ con esponente positivo.

2. Rappresentazione di una Relazione

3. Relazione Inversa Proporzioni

definizione: Codominio $\mathcal{R}$

Si dice Codominio ogni frazione che ha per denominatore una potenza di $10$ con esponente positivo.

Relazioni in un insieme e loro proprietà

4. Relazioni in un insieme

definizione: Codominio $\mathcal{R}$

Si dice Codominio ogni frazione che ha per denominatore una potenza di $10$ con esponente positivo.

5. Proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva

6. Proprietà antiriflessiva e antisimmetrica

5. Monomi e Polinomi

Sun, 05 May 2019 00:00:00 +0100

☆ scadenza: 30 marzo 2022

On August 14, 2021, a team (DAViS) at the University of Applied Sciences of the Grisons announced completion of the computation of π to 62.8 trillion digits

Table of Contents

Iniziamo oggi un viaggio in un mondo che ci farà vedere la matematica un po’ più vicina alla realtà, in quanto punti di discontinuità

In alcuni contesti utilizzare dei simboli per indicare generici elementi di un insieme aiuta ad esprimere delle caratteristiche di intere classi di elementi, non singoli oggetti.
Questo è uno degli aspetti più caratteristici della matematica, occuparsi di fare scoperte e ricavare proprietà su intere categorie di oggetti, nel nostro caso numeri, piuttosto che sui singoli.
Questo bisogno di generalizzare non è sentito solo in matematica, è simile a ciò che succede in molti contesti quotidiani.

esempio 1

se diciamo:

Un qualunque individuo minorenne trovato alla guida di un’auto sta commettendo reato.

non ci interessa affatto sapere se tale individuo si chiama Andrea o Giovanni, se è biondo o castano, o se l’auto è una FIAT Panda o una Lamborghini.

Ciò che ci interessa è che il soggetto in questione è un individuo (cioè un elemento dell’insieme delle persone) minorenne (un elemento dell’insieme delle persone che non ha ancora raggiunto i 18 anni di età) e che si trova alla guida di un auto (un elemento dell’insieme di quei particolari mezzi di trasporto che sono le automobili).

esempio 2

se vogliamo rimanere in ambito matematico, pensiamo alle figure geometriche:

Area del rettangolo: $A = a \times b$, con $a$ e $b$, base e altezza;

d’ora in poi sarà molto meglio usare il simbolo “$\cdot$” al posto di “$\times$” per indicare la moltiplicazione, proprio perché utilizzeremo spesso la lettere $x$ e si rischierebbe di confonderla.

Area del quadrato: $A = l^2$, con $l$ lato del quadrato;

Area del cerchio: $A_c = 2\pi \cdot r^2$;

questo $2\pi \cdot r^2$ è proprio quello che tra poco chiameremo monomio

introduzione

Innanzitutto, che tipo di operazione compiamo quando utilizziamo il calcolo letterale?
- Con il calcolo letterale si utilizzano dei simboli (usualmente lettere) al posto degli elementi di un insieme (di solito insiemi numerici), per sottolineare che non stiamo indicando nessun elemento in particolare, ma uno generico.
- Stiamo perciò facendo un’affermazione che vale contemporaneamente per tutti gli elementi di un insieme, non di un solo elemento specifico.

Utilità del Calcolo Letterale

In alcune occasioni sostituire simboli ai numeri aiuta a semplificare i conti.
Sostituire a dei numeri un’unica semplice lettera può permettere di svolgere molti calcoli simili una volta sola, oppure evitare di dover effettuare conti con numeri di molte cifre.

Se si devono effettuare molti calcoli dalla stessa struttura, ma con numeri diversi, è utile fare i calcoli una volta sola, sostituendo ai numeri un simbolo, e poi sostituire ai simboli i numeri, così da ottenere i risultati voluti.
Ma oltre a questo vantaggio, sostituire lettere a numeri permette di compiere dei conti e arrivare a dei risultati che valgono per un’intera classe di elementi, e non per uno solo.
Un particolare pregio del calcolo letterale è poi quello di non dover utilizzare la calcolatrice. Infatti, evitare di svolgere ogni possibile conto numerico immettendo i dati in un calcolatore elettronico può, in alcune occasioni, far risparmiare molto tempo, evitare errori e aiutare a comprendere a fondo la situazione che si sta trattando.
Il calcolo letterale permette, quindi, di risolvere problemi tra loro simili, una sola volta.

Alcune importanti definizioni

definizione: una espressione algebrica è una scrittura in cui compaiono sia numeri che lettere, (eventualmente parentesi), legati tra loro da simboli di operazioni matematiche.

Un’espressione letterale o espressione algebrica è uno schema di calcolo in cui compaiono numeri e lettere legati dai simboli delle operazioni.
un’espressione algebrica si dice razionale quando le operazioni che compaiono sono quelle di: addizione, sottrazione, moltiplicazione ed elevamento a potenza: $$x^2 + y^3$$
Tra le espressioni algebriche razionali abbiamo quelle frazionarie, in cui si ha un’espressione algebrica al numeratore e una al denominatore: $$\dfrac{3x^2}{2x^2 -3y}$$
Quando invece compare anche la radice allora si parla di espressione algebrica irrazionale: $$\sqrt{\dfrac{3x^2}{2x^2 -3y}}$$

Il valore numerico di un’espressione algebrica si ottiene semplicemente sostituendo alle lettere un numero reale: l’espressione algebrica si trasforma in un’espressione numerica, che assume quindi un valore numerico.
In un’espressione letterale le lettere rappresentano delle variabili, che assumono un preciso significato ==solo== quando vengono sostituite da numeri
- $2x^2 - 3x + 4$ è un’espressione algebrica
- se assegnamo ad $x$ il valore $-1$, l’espressione assumerà il valore: $2 \cdot (1)^2 - 3 \dot (1) + 4 = 2 - 3 + 4 = +3 \Rightarrow 3$
- se invece $x = -1$ otteniamo: $2 \cdot (-1)^2 - 3 \dot (-1) + 4 = 2 + 3 + 4 = +11 \Rightarrow 11$

3. Monomi

definizione: Un monomio è una espressione algebrica nella quale:

compaiono soltanto operazioni di moltiplicazione ed elevamento a potenza;

Gli esponenti delle variabili sono numeri naturali, qundi $\in \mathbb{N}$

sono monomi: $7x^3yz^4 \qquad - \dfrac {1}{2} a^2bc^4 \qquad 3a(-2)ab^3 \qquad \sqrt{2}st^2 \qquad v = \dfrac{s}{t}$

non sono monomi: $7x^3yz^{-4} \qquad - \dfrac {1}{2} a^2bc^4 + \dfrac{5}{6}a^2c\qquad 3 \dfrac{a}{b^3} \qquad 2 \sqrt{s}$

Grado complessivo di un monomio

definizione:
Dato un monomio non nullo, si definisce grado (o grado complessivo) del monomio la somma degli esponenti di tutte le lettere che vi compaiono.

Grado di un monomio rispetto ad una variabile

definizione:
Dato un monomio non nullo, si definisce grado del monomio rispetto ad una lettera, l’esponente con cui compare quella lettera all’interno del monomio, una volta ridotto in forma normale

il monomio: $7x^3yz^4$

è di grado $3$ rispetto a $x$, di grado $1$ rispetto a $y$ e di grado $4$ rispetto a $z$.

Proprietà e operazioni con i monomi

nota:
In una espressione algebrica il punto utilizzato per indicare l’operazione di moltiplicazione viene spesso omesso, quindi l’espressione algebrica $xyz^2$ ha il significato di $x \cdot y \cdot z^2$.

Un monomio si dice ridotto in forma normale quando è scritto come prodotto di un solo fattore numerico, detto coefficiente numerico, e di potenze letterali con basi diverse. Il complesso delle lettere che compaiono nel monomio ridotto a forma normale ne costituisce la parte letterale.

Operazioni con i monomi

Somma algebrica di monomi

La somma algebrica di uno o più monomi simili è un monomio, simile a quelli di partenza, che ha per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.

la somma di due monomi opposti è zero, ossia il monomio nullo
la differenza di due monomi uguali è zero, ossia il monomio nullo
i monomi devono essere simili per poter essere sommati algebricamente:
- $$3xy^2 - 8xy^2 + xy^2$$
- $$- \dfrac{1}{2}a^2b + \dfrac{2}{3}a^2b$$
- $$- 6x + 5x^2y + 4x - 3x^2y$$

Riduzione dei termini simili

Una somma algebrica di più monomi può essere semplificata se tra i suoi termini vi sono dei termini simili tra loro.

Se i termini della somma sono monomi tutti simili tra loro si ottiene come risultato un monomio; in caso contrario si otterrà un polinomio.

esempi

$-2 a^{2} s^{2}+\dfrac{7}{6} a^{2} s^{2}-\dfrac{5}{27} a^{2} s^{2}+\dfrac{11}{15} a^{2} s^{2}+\dfrac{3}{10} a^{2} s^{2}+\dfrac{5}{27} a^{2} s^{2}-\dfrac{6}{5} a^{2} s^{2}$
$\left(-2 x^{2} y^{3}+\dfrac{5}{2} x^{2} y^{3}-\dfrac{1}{6} x^{2} y^{3}\right)-\left(\dfrac{13}{12} x^{2} y^{3}-\dfrac{11}{4} x^{2} y^{3}+x^{2} y^{3}\right)$
$\left(-\dfrac{7}{20} a+\dfrac{11}{30} a-\dfrac{7}{12} a+\dfrac{1}{15} a\right)-\left(\dfrac{3}{8} a-\dfrac{7}{20} a-\dfrac{2}{5} a\right)$
$-\dfrac{2}{5} a^{3}+\dfrac{15}{8} a^{2} b-\dfrac{8}{15} a^{2}-\dfrac{3}{5} a^{3}+\dfrac{8}{15} a^{2}+a^{3}-\dfrac{7}{8} a^{2} b$
$\dfrac{11}{10} s^{3} t-\dfrac{11}{10} s t^{3}+\dfrac{3}{5} s t^{3}-\dfrac{31}{35} s^{3} t-\dfrac{3}{5} s-\dfrac{3}{14} s^{3} t+\dfrac{3}{5} s+\dfrac{3}{2} t^{3}$
$-\dfrac{1}{10} x y^{2}-\dfrac{1}{9} x^{2} y+\dfrac{5}{6} x y^{2}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{9} x^{2} y-\dfrac{11}{15} x y^{2}-\dfrac{5}{6}$
$\dfrac{1}{6} x y+\dfrac{5}{3} x-\left[\dfrac{1}{24} x y-\left(\dfrac{1}{12} x y-\dfrac{7}{8} x y+\dfrac{1}{6} x y\right)+2 x-\dfrac{1}{3} x\right]$

piccola challenge
- Alla manifestazione hanno partecipato $n$ uomini;
- le donne erano $100$ in più di metà degli uomini;
- i bambini erano il doppio degli uomini diminuito di $31$.
Quante persone hanno partecipato alla manifestazione?

8. Prodotto di monomi

si sommano gli esponenti: $$(6xy^3z^2) \cdot (- \dfrac{1}{3}y^2z) = -2xy^5z^3$$

9. Elevamento a potenza

È consigliato un ripasso delle proprietà delle potenze

definizione: La potenza con esponente naturale $n$ di un monomio è un monomio che ha per coefficiente la potenza di esponente $n$ del coefficiente e per parte letterale la potenza di esponente $n$ della parte letterale.

il monomio: $7x^3yz^4$

è di grado $3$ rispetto a $x$, di grado $1$ rispetto a $y$ e di grado $4$ rispetto a $z$.

esempio

si moltiplicano gli esponenti, come per le potenze numeriche:
- $${[(-2a^2b)^2]^3}^2$$

10. Quoziente di due monomi

11. MCD e mcm di due o più monomi

Massimo comune divisore (MCD)

Il massimo comune divisore (MCD) di due monomi non nulli è un monomio così formato:

il coefficiente è il MCD dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi daati, se tali coefficienti sono tutti interi, altrimentiè $1$;

la parte letterale è il prodotto di tutte le lettere comuni ai monomi dati, ciascuna presa una sola volta con l’esponente minimo con cui essa figura nei monomi dati.

tale monomio risulta divisore di tutti i monomi dati e, tra tutti i divisori comuni dei monomi dati, è quello di grado maggiore.

Minimo comune multiplo (mcm)

Il minimo comune multiplo (mcm) di due monomi non nulli è un monomio così formato:

il coefficiente è il mcm dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi daati, se tali coefficienti sono tutti interi, altrimentiè $1$;

la parte letterale è il prodotto di tutte le lettere, comuni e non comuni ai monomi dati, ciascuna presa una sola volta con l’esponente massimo con cui essa figura nei monomi dati.

tale monomio risulta divisore di tutti i monomi dati e, tra tutti i divisori comuni dei monomi dati, è quello di grado maggiore.

Generalizzando

Se voglio comprare delle scarpe che costano $50$ euro e sono scontate del $12$%, mi interessa scoprire quanto devo pagare, non fare conti astratti.

Ma se sono un commerciante che ogni anno vende un certo numero di paia di scarpe, e devo calcolare quali sconti fare per avere un certo guadagno e aumentare le vendite, è piú utile che egli faccia dei conti riapplicabili in ogni occasione, anziché perdere tempo a ripetere gli stessi procedimenti ogni volta.

Polinomi

definizione: Un polinomio è una somma algebrica di monomi, non simili.

sono polinomi: $6a + 2b; \quad 5a^2b + 3b^2; \quad 6x^2 - 5y^2x - 1; \quad 7ab - 2a^2b^3 + 4$.

osserva che:

Se tra i termini di un polinomio non sono presenti monomi simili, il polinomio si dice in forma normale o ridotto;
se al contrario si presentano dei termini simili, possiamo eseguire la riduzione del polinomio sommando i termini simili.
Tutti i polinomi sono quindi riducibili in forma normale.
Un polinomio in forma normale può presentare tra i suoi termini un monomio di grado $0$ che viene comunemente chiamato termine noto.

grado di un polinomio

definizione: Il grado complessivo (o semplicemente grado) di un polinomio è il massimo dei gradi complessivi dei suoi termini. Si chiama, invece, grado di un polinomio rispetto ad una data lettera l’esponente maggiore con cui quella lettera compare nel polinomio, dopo che è stato ridotto a forma normale.

Il polinomio $2ab + 3 - 4a^2b^2$ ha grado complessivo $4$ perché il monomio con grado massimo è $- 4a^2b^2$, che è un monomio di quarto grado;

il grado del polinomio $a^3 + 3b^2a - 4ba^2$ rispetto alla lettera $a$ è $3$ perché l’esponente più grande con cui tale lettera compare è $3$.

Un polinomio si dice omogeneo se tutti i termini che lo compongono sono dello stesso grado.
Un polinomio si dice ordinato secondo le potenze decrescenti (crescenti) di una lettera, quando i suoi termini sono ordinati in maniera tale che gli esponenti di tale lettera decrescono (crescono), leggendo il polinomio da sinistra verso destra.
Un polinomio di grado $n$ rispetto ad una data lettera si dice completo se contiene tutte le potenze di tale lettera di grado inferiore a $n$, compreso il termine noto.

Proprietà dei polinomi

Operazioni con i polinomi

somma algebrica e “differenza”

La somma algebrica comprende anche la “sottrazione”, che nel Calcolo Letterale viene interpretata come una somma algebrica con l’opposto del polinomio da sottrarre.

prodotto di un monomio per un polinomio

Si esegue moltiplicando il monomio per ognuno dei termini del polinomio, sommando algebricamente i monomi risultanti
Il prodotto tra un monomio e un polinomio è certamente un caso particolare del prodotto tra polinomi in quanto un monomio può essere pensato come un caso particolare di polinomio, composto di un solo termine.
esempio:

prodotto di polinomi

quoziente di un polinomio e un monomio

Prodotti Notevoli

I prodotti notevoli sono soltanto dei prodotti tra polinomi che, essendo utilizzati di frequente è conveniente imparare a ricavare facilmente per non doverli imparare a memoria - che non serve.

- Ripasso Prodotti Notevoli

perché sono così utili

perché semplificano notevolmente i calcoli
perché sono molto utilizzati: compaiono molto spesso quindi conoscerli semplifica molto la comprensione di determinati ragionamenti
sono uno strumento molto potente nella fattorizzazione polinomiale

ricavarli o ricordarli?

sarà sufficiente ricavarli un paio di volte per ricordarli; eventualmente si possono ricavare facilmente.

Divisione tra polinomi

divisibilità tra polinomi

il concetto di divisibilità

l’algoritmo

Regola di Ruffini

Divisione e Regola di Ruffini:

Divisione tra polinomi

Eseguire la seguente Divisione tra polinomi:

$(6x^3 - 2x^2 + 3x -1) : (2x^2 + 1)$

soluzione: $Q(x) = (3x - 1); \qquad R(x) = 0$.

Qual è il quoziente $Q(x)$?
Qual è il Resto $R(x)$?
Che conclusioni puoi trarne?

Regola di Ruffini

Eseguiamo un classico esercizio di fattorizzazione utilizzando la Regola di Ruffini:

Eseguire la divisione utilizzando la Regola di Ruffini: $$(2x^3 - 9x + 1) : (x - 3)$$
soluzione: $$Q(x) = 2x^2 + 6x + 9; \qquad R = 28$$

esempi

esercizi ripasso monomi e polinomi

Eseguiamo, se possibile, le seguenti divisioni

$\left(12 x^{4} y^{3}-3 x^{3} y^{4}+2 x^{2} y\right):\left(2 x^{2} y\right)$;

La divisione $\left(12 x^{4} y^{3}-3 x^{3} y^{4}+2 x^{2} y\right):\left(2 x^{2} y\right)$ è possibile, perché ogni termine del dividendo contiene le variabili del divisore, con esponente maggiore o uguale.

Non è necessario, invece, che i coefficienti dei termini del dividendo siano multipli del coefficiente del divisore.

Dividiamo per $2 x^{2} y$ ogni termine del polinomio dividendo: $$ \begin{aligned} &12 x^{4} y^{3}:\left(2 x^{2} y\right)=6 x^{4-2} y^{3-1}=6 x^{2} y^{2} \ &-3 x^{3} y^{4}:\left(2 x^{2} y\right)=-\frac{3}{2} x^{3-2} y^{4-1}=-\frac{3}{2} x y^{3} \ &2 x^{2} y:\left(2 x^{2} y\right)=1 . \end{aligned} $$ Il risultato è quindi: $$ \left(12 x^{4} y^{3}-3 x^{3} y^{4}+2 x^{2} y\right):\left(2 x^{2} y\right)=6 x^{2} y^{2}-\frac{3}{2} x y^{3}+1 . $$ Verifica : $$ \underbrace{\left(6 x^{2} y^{2}-\frac{3}{2} x y^{3}+1\right)}{\text {quoziente }} \cdot \underbrace{2 x^{2} y}{\text {divisore }}=\underbrace{12 x^{4} y^{3}-3 x^{3} y^{4}+2 x^{2} y}_{\text {dividendo }} . $$

$\left(5 a b^{2}+3 a^{3} b^{3}-3 a^{4}\right):\left(2 a^{2} b^{2}\right)$.

La divisione $\left(5 a b^{2}+3 a^{3} b^{3}-3 a^{4}\right): 2 a^{2} b^{2}$ non è possibile per due motivi:
$5 a b^{2}$ ha grado rispetto ad $a$ minore di $2 a^{2} b^{2}$;
$-3 a^{4}$ ha grado rispetto a $b$ minore di $2 a^{2} b^{2}$ (il grado rispetto a $b$ di $-3 a^{4}$ è 0 ).

prodotti notevoli

Esercizi

$(2 a-b)^{2}-(3 a+b)(a-2 b)+5 a^{2}-a b$
$(x+y)^{2}-2 y(x-y)-(x+y)(y-x)$
$\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(a^{2}-b^{2}\right)-\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}+2 a^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)$
$(x+1)^{3}+3(x+1)^{2}+3(x+1)+1$
$2(y-3 x)^{2}+2(2 x+y)(y-2 x)-9 x^{2}-2 x y-(2 y-x)^{2}$
$\left(x^{2}-3 y^{2}\right)\left(2 x^{2}+y^{2}\right)-\left(x^{2}+2 y^{2}\right)\left(x^{2}-2 y^{2}\right)-\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}$
$[(2-a)(2+a)-2]^{3}-\left(2 a^{2}-b+1\right)^{2}+a^{2}\left(a^{2}+4\right)^{2}+\left(b-2 a^{2}\right)^{2}$
$\left(-x+y^{2}\right)\left(-x-y^{2}\right)+(-2 y)^{2}(x-y)^{2}+8 x y^{3}-4 x^{2}\left(1+y^{2}\right)$
$(x+2)^{2}-3(x+2)(x-2)+(x-2)^{3}-x^{2}(x-8)$
$(x-2 y)^{3}-x(x-2 y)(x+2 y)+2 x y(3 x+4 y)-(-2 y)^{3}$
$a\left(a^{2}-3\right)+\left(1+6 a+a^{3}\right)-(a-1)^{3}+(-a-1)^{3}$
$[a+3+(b-1)(2 b+a+3)+b(b+2 a-1)] a-(b+a)^{3}$
$\left(x^{2}-2 x y+3 y^{2}\right)\left(x^{2}+2 x y+3 y^{2}\right)-2\left(x y-x^{2}\right)^{2}-4 x^{3} y+x^{4}$
$\left[(x-y)^{2}(x+y)^{2}-x^{2}\left(x^{2}-2 y^{2}\right)\right]: \dfrac{(-y)^{2}}{2} \cdot(x+y)$
$\left[(x+3 a)^{2}+(2 x-3 a)^{2}+4\left(x-\dfrac{3}{2} a\right)(3 a+x)\right]:(-3)^{2}-(x-2)^{2}$
$\left(1-2 a^{2}\right)\left(1+2 a^{2}\right)+\left(5 a^{2}-1\right)^{2}-2\left(1-4 a^{2}\right)^{2}-\left[-2 a^{4}-\left(3 a^{2}-1\right)^{2}\right]$
$\left[(x+y)^{3}-(x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)\right]^{2}-2 x y(-3 x y)^{2}$
$\left[x^{2}-(x-y)(x+y)+y^{3}\right]^{3}-(1+y)^{3} \cdot\left[\left(y^{3}+1\right)\left(y^{3}-1\right)+\left(y^{2}+x^{2}\right)^{0}\right]$

conclusioni

6. Fattorizzazione Polinomiale

Sun, 05 May 2019 00:00:00 +0100

☆ scadenza: 30 ottobre 2021

Ruffini

esercizi di ripasso

“Non esiste vento favorevole per il marinaio che non sa dove andare”

- Lucio Anneo Seneca

Table of Contents

introduzione

metodi di fattorizzazione

raccoglimento a fattor comune totale

raccoglimento a fattor comune parziale

prodotti notevoli

- Ripasso Prodotti Notevoli

Trinomio Particolare di secondo grado

esempio svolto

Si tratta semplicemente di un trinomio di secondo grado, completo, con una caratteristica che lo rende particolare - infatti viene chiamato anche trinomio particolare

Si presenta nella forma seguente: $$x^2 + sx+p$$

in cui le lettere $s$ e $p$, stanno ad indicare somma e prodotto

Divisione polinomiale

Teorema del Resto

Teorema del Resto: Nella divisione tra polinomio e un binomio del tipo $A(x) : (x - a)$, il resto è dato dal valore che assume $A(x)$ quando alla variabile $x$ si sostituisce il valore $a$: $R = A(a)$.

esempio:

Cercare gli zeri di un polinomio
Verificare se uno o più numeri sono divisori di un dato polinomio:
- per poterlo dire è necessario sapere dove andarli a cercare

Teorema Ruffini

Un polinomio $A(x)$ è divisibile per un binomio $(x - a)$ se e soltanto se $A(a)$ è uguale a $0$.

Il teorema di Ruffini permette - in determinate condizioni - di scomporre in fattori un polinomio, o più generalmente, è un sistema più semplice per eseguire la Divisione.
Consideriamo un polinomio $A(x)$.
Sappiamo che, se $A(x) = 0$, allora il polinomio è divisibile per $(x - a)$;
Eseguendo la divisione $A(x) : (x - a)$, otteniamo il polinomio quoziente $Q(x)$ e, poiché il resto è zero, scriviamo $A(x)$ come prodotto di due fattori:
$A(x) = (x - a) Q(x)\quad \Rightarrow \quad$ il risultato è una fattorizzazione!

Regola di Ruffini

Eseguiamo un classico esercizio di fattorizzazione utilizzando la Regola di Ruffini:
Eseguire la divisione utilizzando la Regola di Ruffini: $(2x^3 - 9x + 1) : (x - 3)$
soluzione: $Q(x) = 2x^2 + 6x + 9; \qquad R = 28$

Divisibilità

definizione:

Un polinomio $A(x)$ è divisibile per un polinomio $B(x)$ se esiste un polinomio $Q(x)$ che, moltiplicato per $B(x)$, dà come prodotto $A(x)$. $A(x) : B(x) = Q(x) \quad \Rightarrow \quad B(x) \cdot Q(x) = A(x)$
Si può anche dire che un polinomio è divisibile per un monomio o per un altro polinomio sse il resto della divisione è $0$
Divisibilità di un polinomio per un monomio: Un polinomio è divisibile per un monomio non nullo se ogni suo termine è divisibile per tale monomio.

esercitazioni

esercizi

Fattorizza i seguenti polinomi utilizzando il metodo che ritieni più appropriato:

$$81x^2 -36x + 4 = (9x-2)^2$$

7. Frazioni algebriche

Sun, 05 May 2019 00:00:00 +0100

☆ scadenza: 20 ottobre 2021

prerequisiti

Fattorizzazione polinomiale
- indispensabile per poter semplificare una frazione algebrica
mcm tra polinomi
- per potersi riportare alla forma normale di una frazione algebrica: $\frac{N(x)}{D(x)}$

cos’è una frazione algebrica

Si tratta di una divisione tra polinomi, espressa sottoforma di frazione.

esempio: $(x+1) : (x^2-1)$

$$\dfrac{\text{numeratore}}{\text{denominatore}} \rightarrow \dfrac{N(x)}{D(x)} \rightarrow \dfrac{x+1}{x^2 -1}$$

Il dividendo prende il nome di numeratore
Il divisore prende il nome di denominatore

Condizioni di Esistenza

Esiste un condizione indispensabile per poter lavorare con le frazioni algebriche:
Il denominatore non può mai essere nullo

$$\dfrac{N(x)}{D(x)} \Rightarrow D(x) \neq 0$$

Le tre cose da fare

Ridurla in forma normale, nel caso si trattasse di un’espressione con frazioni algebriche
- fattorizzare tutti in denominatori
- denominatore comune
Determinare le Condizioni di Esistenza, C.E.
fattorizzare il numeratore, se possibile
semplificare, se possibile

Riduzione di frazioni algebriche allo stesso denominatore

Per ridurre più frazioni allo stesso denominatore, bisogna trasformarle in frazioni equivalenti aventi tutte lo stesso denominatore (M.C.D. minimo comune denominatore).

Il procedimento

È analogo a quello usato per ridurre più frazioni numeriche allo stesso denominatore:

si semplificano le frazioni date;
le frazioni così ottenute sono quelle a cui si applicano direttamente i passaggi successivi;
il denominatore comune cercato (minimo comune denominatore) è il mcm dei denominatori;

esempio 1

fattorizziamo e semplifichiamo:
- $\dfrac{(x+1)}{(x^2-1)} = \dfrac{(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \color{red}{\dfrac{1}{(x-1)}}$
determiniamo le condizioni di esistenza, C.E.
- poniamo il denominatore uguale a zero determinare per quali valori di $x$ il denominatore si annulla:
- $D(x)=0 \rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x=1$

scriviamo correttamente la soluzione

Condizioni di esistenza:
- $C.E.: x \neq 1$
Insieme di Definizione:
- $IdD = \overbrace{\{ \forall x \in \mathbb{R} : x \neq 1 \}}^{insieme \, di \, definizione}$

l’IdD rappresenta un insieme in futuro l’IdD verrà chiamato anche Dominio

esempi

$$\dfrac{3x+15}{x^2 - 25}$$
$$\dfrac{2 x^{4}-18}{(x-1)(2 x-3)-(x-2)(x-3)}$$
$$\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{8}{x^{2}-4}+\dfrac{2}{x-2}$$
$$-\dfrac{10}{x-2}+\dfrac{x+2}{x}+\dfrac{2}{3 x^{2}-x}$$

errori gravi

Per evitare di commettere gravi errori devi ricordare che, in una frazione algebrica, puoi semplificare solo i fattori comuni al numeratore e al denominatore

nella frazione $\dfrac{a+b}{b}$ non è possibile operare alcuna semplificazione; infatti $b$ è un fattore per il denominatore, ma è un addendo per il numeratore!
Analogamente, nella frazione $\dfrac{a+x}{a+y}$ non è possibile semplificare per $a$: infatti il monomio $a$ è un addendo per entrambi i termini della frazione, non un fattore

$$\dfrac{3+5}{3} \neq \dfrac{\cancel{3} + 5}{\cancel{3}} \qquad \dfrac{2x^2 -3y}{4x^4} \neq \dfrac{\cancel{2x^2} - 3y}{\cancel{4x^4}}$$

Due regole d’oro

1. fattorizzare i denominatori

$\Rightarrow$ serve a calcolare il minimo comun denominatore

2. sviluppare i numeratori

$\Rightarrow$ serve a semplificare i monomi simili

Uno sguardo alle equazioni lineari intere

Sono del tipo:

$$P(x) = 0$$

con $P(x)$ un Polinomio in $x$ di grado $n$

$$x^2 + 5x + 6 = 0$$

Vi sblocco un ricordo…

Principi di equivalenza

primo principio: afferma che sommando algebricamente ad entrambi i membri di una equazione, uno stesso numero o una stessa espressione contenente l’incognita, otteniamo una equazione equivalente a quella data.
secondo principio: moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una uguaglianza per uno stesso numero diverso da zero, o per una stessa espressione che non possa annullarsi, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

uno strumento davvero efficace

L.A.P.: Legge di Annullamento del Prodotto

$$ P_1(x) \cdot P_2(x) \cdot P_3(x) = 0 \Rightarrow \begin{cases} P_1(x) = 0 \\ P_2(x) = 0 \\ P_3(x) = 0 \end{cases} $$

esempio

$$\underbrace{25x^2 - 20x + 4}_{quadrato \, di \, binomio} = 0$$

$$\Rightarrow (5x - 2)^2= 0$$

$$\Rightarrow 5x - 2 = 0$$

$$\Rightarrow x = \dfrac{2}{5}$$

equazioni/disequazioni mindmap

Questions?

» prossima puntata:

equazioni lineari frazionarie