Gli angoli e le funzioni goniometriche

Thu, 09 Sep 2021 00:00:00 +0100

☆ scadenza: 30 settembre 2021

Gli angoli e le funzioni goniometriche

1. Angoli e loro misure

In questa prima Unità del volume introdurremo e studieremo una classe di funzioni fondamentale per costruire modelli di fenomeni periodici, le funzioni goniometriche. Per introdurre queste funzioni è necessario rivedere anzitutto i concetti di angolo e di misura di un angolo.

II concetto di angolo

definizione: ANGOLO

Consideriamo in un piano due semirette aventi la stessa origine. Si chiama angolo la figura costituita dalle due semirette e da una delle due parti in cui il piano è diviso dalle semirette stesse.
L’origine delle due semirette è detta vertice dell’angolo; le due semirette si dicono lati dell’angolo.

Applicazioni della trigonometria

Mon, 05 Aug 2019 00:00:00 +0100

☆ scadenza: 30 ottobre 2021

Applicazioni della trigonometria

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Duis posuere tellus ac convallis placerat.

Proin tincidunt magna sed ex sollicitudin condimentum. Sed ac faucibus dolor, scelerisque sollicitudin nisi. Cras purus urna, suscipit quis sapien eu, pulvinar tempor diam.

Frazioni

L’insieme dei numeri razionali

operazioni con i numeri razionali

potenze in $\mathbb{Q}$

Frazioni e numeri decimali

Proporzioni

percentuali

L’insieme dei numeri reali

Calcolo approssimato

Formule e identità goniometriche

Sun, 05 May 2019 00:00:00 +0100

☆ scadenza: 30 ottobre 2021

Formule e identità goniometriche

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Duis posuere tellus ac convallis placerat.

Proin tincidunt magna sed ex sollicitudin condimentum. Sed ac faucibus dolor, scelerisque sollicitudin nisi. Cras purus urna, suscipit quis sapien eu, pulvinar tempor diam.

Frazioni

L’insieme dei numeri razionali

operazioni con i numeri razionali

potenze in $\mathbb{Q}$

Frazioni e numeri decimali

Proporzioni

percentuali

L’insieme dei numeri reali

Calcolo approssimato

Equazioni e disequazioni goniometriche e trigonometria

Sun, 05 May 2019 00:00:00 +0100

☆ scadenza: 30 ottobre 2021

Equazioni e disequazioni goniometriche e trigonometria

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Duis posuere tellus ac convallis placerat.

Proin tincidunt magna sed ex sollicitudin condimentum. Sed ac faucibus dolor, scelerisque sollicitudin nisi. Cras purus urna, suscipit quis sapien eu, pulvinar tempor diam.

Frazioni

L’insieme dei numeri razionali

operazioni con i numeri razionali

potenze in $\mathbb{Q}$

Frazioni e numeri decimali

Proporzioni

percentuali

L’insieme dei numeri reali

Calcolo approssimato

Disequazioni goniometriche

Sun, 05 May 2019 00:00:00 +0100

☆ scadenza: 30 ottobre 2021

Capitolo 2: Numeri razionali e numeri reali

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Duis posuere tellus ac convallis placerat.

Proin tincidunt magna sed ex sollicitudin condimentum. Sed ac faucibus dolor, scelerisque sollicitudin nisi. Cras purus urna, suscipit quis sapien eu, pulvinar tempor diam.

Frazioni

L’insieme dei numeri razionali

operazioni con i numeri razionali

potenze in $\mathbb{Q}$

Frazioni e numeri decimali

Proporzioni

percentuali

L’insieme dei numeri reali

Calcolo approssimato

I Numeri Complessi

Sun, 05 May 2019 00:00:00 +0100

☆ scadenza: 30 ottobre 2021

Numeri Complessi

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Duis posuere tellus ac convallis placerat.

Proin tincidunt magna sed ex sollicitudin condimentum. Sed ac faucibus dolor, scelerisque sollicitudin nisi. Cras purus urna, suscipit quis sapien eu, pulvinar tempor diam.

Introduzione ai Numeri Complessi

Obiettivi della lezione

Comprendere la necessità di ampliare il concetto di numero per risolvere equazioni come $x^2 + 1 = 0$.
Introdurre la definizione di numero complesso.
Esplorare le rappresentazioni algebrica e geometrica dei numeri complessi.
Presentare applicazioni reali e interdisciplinari.

Perché servono i numeri complessi?

Un problema storico

Immaginiamo di voler risolvere questa equazione: $$x^2 + 1 = 0$$
- Le radici sarebbero $x = \pm \sqrt{-1}$, ma non possiamo calcolare la radice quadrata di un numero negativo nei numeri reali.
- Questo problema portò i matematici a introdurre una nuova “entità”: $i$, dove: $$i^2 = -1$$

Un esempio accattivante: l’elettricità alternata

Domanda intrigante per la classe: Come funzionano le reti elettriche che portano energia a casa nostra?
Risposta: Le oscillazioni della corrente alternata sono descritte usando numeri complessi: $$V(t) = V_0 e^{i\omega t}$$ dove $i$ aiuta a modellare la fase e l’ampiezza in modo elegante.

Definizione di numero complesso

Un numero complesso è della forma: $$z = a + bi$$ dove:
- $a$ è la parte reale ($\Re(z)$).
- $b$ è la parte immaginaria ($\Im(z)$).
- $i$ è l’unità immaginaria, con $i^2 = -1$.

Le 3 forme di un numero complesso

Forma algebrica

La forma algebrica di un numero complesso è:

$$ z=a+b i $$

dove:

$a \in \mathbb{R}$ è la parte reale,
$b \in \mathbb{R}$ è la parte immaginaria,
$i$ è l’unità immaginaria, tale che $i^2=-1$.

Forma trigonometrica

La forma trigonometrica è

$$ z=r(\cos \theta+i \sin \theta) $$

dove:

$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ è il modulo di $z$,
$\theta=\arg (z)$ è l’argomento (o fase) di $z$, con $\theta \in[0,2 \pi)$,
$\cos \theta$ e $\sin \theta$ sono le proiezioni di $z$ sull’asse reale e immaginario.

Forma esponenziale

La forma esponenziale

derivata dalla forma trigonometrica usando la formula di Eulero $e^{i \theta}=$ $\cos \theta+i \sin \theta$, è:

$$ z=r e^{i \theta} $$

dove:

$r=|z|$ è il modulo,
$\theta=\arg (z)$ è l’argomento.

Relazioni tra le forme

Dato un numero complesso $z=a+b i$ :

Il modulo è:

$$ r=|z|=\sqrt{a^2+b^2} $$

L’argomento è:

$$ \left.\theta=\arctan \left(\frac{b}{a}\right) \quad \text { (con attenzione al quadrante del punto }(a, b)\right) . $$

La forma trigonometrica si converte facilmente in quella esponenziale con:

$$ \cos \theta+i \sin \theta=e^{i \theta} $$

Rappresentazione geometrica

I numeri complessi possono essere rappresentati sul piano di Gauss, con:
- L’asse $x$ come parte reale.
- L’asse $y$ come parte immaginaria.
Esempio:
- $z = 3 + 4i$ corrisponde al punto $(3, 4)$.

Modulo e argomento

Il modulo di $z = a + bi$: $$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$
L’argomento (angolo con l’asse reale): $$\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$$

Applicazioni e interdisciplinarità

Elettronica e ingegneria:
- Simulazione di circuiti con numeri complessi per modellare corrente e tensione.
Grafica computerizzata:
- I frattali, come il famoso [[20 MATHS/21 Math’s Drafts Inbox/insieme di Mandelbrot]], sono costruiti iterando funzioni di numeri complessi.
Fisica quantistica:
- Le funzioni d’onda descrivono stati quantistici usando numeri complessi.

Esercizio finale: un esempio pratico

Problema

Calcolare il modulo e l’argomento del numero complesso: $$z = -3 + 4i$$

Soluzione

Modulo: $$|z| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5$$
Argomento: $$\theta = \arctan\left(\frac{4}{-3}\right) \approx 126.87^\circ$$

L’identità di Eulero: $e^{i\pi} + 1 = 0$

Perché è considerata “la formula più bella”?

L’identità di Eulero collega tra loro cinque delle costanti più importanti della matematica:
- $e$: la base dei logaritmi naturali, fondamentale nell’analisi matematica e nei fenomeni di crescita esponenziale.
- $i$: l’unità immaginaria, che permette di ampliare il concetto di numero.
- $\pi$: la costante che esprime il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio, onnipresente in geometria e trigonometria.
- $1$: l’identità moltiplicativa, essenziale in tutte le strutture algebriche.
- $0$: l’elemento neutro dell’addizione, simbolo del nulla e punto di origine in molte rappresentazioni.
È sorprendente come queste costanti, apparentemente scollegate, si uniscano in una relazione così semplice e compatta.

Le basi teoriche: la formula di Eulero

L’identità di Eulero deriva dalla formula di Eulero, che esprime il legame tra esponenziali complessi e funzioni trigonometriche: $$e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$$
Questa formula si basa sull’espansione in serie di Taylor delle funzioni esponenziale, seno e coseno: $$e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$$ $$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$$ $$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$$
Sostituendo $x = i\theta$, i termini si combinano in modo tale da collegare esponenziali e trigonometria.

![[50 Allegati/Pasted image 20241128222307.png]]

Dimostrazione dell’identità di Eulero

Applicando la formula di Eulero per $\theta = \pi$: $$e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi)$$
Valutando i termini trigonometrici:
- $\cos(\pi) = -1$, perché il punto corrispondente a $\pi$ sulla circonferenza unitaria si trova a sinistra dell’origine.
- $\sin(\pi) = 0$, perché il punto è sull’asse reale.
Quindi: $$e^{i\pi} = -1$$
Aggiungendo $1$ a entrambi i membri: $$e^{i\pi} + 1 = 0$$

Interpretazione geometrica

La formula $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$ rappresenta un punto sulla circonferenza unitaria nel piano complesso.
Per $\theta = \pi$, il punto si trova all’estremità opposta rispetto all’origine, corrispondente a $-1$.
L’identità $e^{i\pi} + 1 = 0$ può essere vista come una “chiusura del cerchio”: l’esponenziale complesso con $\pi$ come angolo porta esattamente a $-1$.

Applicazioni e significato

Analisi matematica: $e^{i\pi}$ combina crescita esponenziale e oscillazioni sinusoidali.
Fisica: appare in fenomeni ondulatori, quantistici e nella descrizione delle rotazioni.
Ingegneria: è alla base della trasformata di Fourier, usata in elaborazione dei segnali.
Filosofia matematica: rappresenta l’armonia e l’eleganza della matematica, collegando concetti apparentemente distanti in un’unica relazione.

Matematica per le classi quarte | The Math of Things

Gli angoli e le funzioni goniometriche

Gli angoli e le funzioni goniometriche

1. Angoli e loro misure

II concetto di angolo

Applicazioni della trigonometria

Applicazioni della trigonometria

Frazioni

L’insieme dei numeri razionali

operazioni con i numeri razionali

potenze in $\mathbb{Q}$

Frazioni e numeri decimali

Proporzioni

percentuali

L’insieme dei numeri reali

Calcolo approssimato

Formule e identità goniometriche

Formule e identità goniometriche

Frazioni

L’insieme dei numeri razionali

operazioni con i numeri razionali

potenze in $\mathbb{Q}$

Frazioni e numeri decimali

Proporzioni

percentuali

L’insieme dei numeri reali

Calcolo approssimato

Equazioni e disequazioni goniometriche e trigonometria

Equazioni e disequazioni goniometriche e trigonometria

Frazioni

L’insieme dei numeri razionali

operazioni con i numeri razionali

potenze in $\mathbb{Q}$

Frazioni e numeri decimali

Proporzioni

percentuali

L’insieme dei numeri reali

Calcolo approssimato

Disequazioni goniometriche

Capitolo 2: Numeri razionali e numeri reali

Frazioni

L’insieme dei numeri razionali

operazioni con i numeri razionali

potenze in $\mathbb{Q}$

Frazioni e numeri decimali

Proporzioni

percentuali

L’insieme dei numeri reali

Calcolo approssimato

I Numeri Complessi

Numeri Complessi

Introduzione ai Numeri Complessi

Obiettivi della lezione

Perché servono i numeri complessi?

Un problema storico

Un esempio accattivante: l’elettricità alternata

Definizione di numero complesso

Le 3 forme di un numero complesso

Forma algebrica

La forma trigonometrica è

La forma esponenziale

Relazioni tra le forme

Rappresentazione geometrica

Modulo e argomento

Applicazioni e interdisciplinarità

Esercizio finale: un esempio pratico

Problema

Soluzione

L’identità di Eulero: $e^{i\pi} + 1 = 0$

Perché è considerata “la formula più bella”?

Le basi teoriche: la formula di Eulero

Dimostrazione dell’identità di Eulero

Interpretazione geometrica

Applicazioni e significato